Splines, lattice points, and (arithmetic) matroids

Let X be a (d × N)-matrix. We consider the variable polytope ΠX(u) = {w ≥ 0 : Xw = u}. It is known that the function TX that assigns to a parameter u ∈ R the volume of the polytope ΠX(u) is piecewise polynomial. Formulas of Khovanskii-Pukhlikov and Brion-Vergne imply that the number of lattice points in ΠX(u) can be obtained by applying a certain differential operator to the function TX . In this extended abstract we slightly improve the formulas of Khovanskii-Pukhlikov and Brion-Vergne and we study the space of differential operators that are relevant for TX (i. e. operators that do not annihilate TX ) and the space of nice differential operators (i. e. operators that leave TX continuous). These two spaces are finite-dimensional homogeneous vector spaces and their Hilbert series are evaluations of the Tutte polynomial of the (arithmetic) matroid defined by X . Résumé. Soit X une matrice (d × N). Nous considérons le polytope variable ΠX(u) = {w ≥ 0 : Xw = u}. Il est connu que la fonction TX qui attribue à un paramètre u le volume du polytope ΠX(u) est polynomiale par morceaux. Des formules de Khovanskii-Pukhlikov et de Brion-Vergne impliquent que le nombre de points de réseau dans ΠX(u) peut être obtenu en appliquant un certain opérateur différentiel à la fonction TX . Dans ce résumé élargi nous améliorons un peu les formules de Khovanskii-Pukhlikov et de Brion-Vergne et nous étudions l’espace d’opérateurs différentiels qui sont importants pour TX (c’est-à-dire les opérateurs qui n’annulent pas TX ) et l’espace d’opérateurs différentiels bons (c’est-à-dire les opérateurs qui laissent TX continue). Ces deux espaces sont espaces vectoriels homogène de dimension finie et leurs séries de Hilbert sont des évaluations du polynôme de Tutte du matroı̈de (arithmétique) défini par X .